5月1日，美国工业与应用数学学会（SIAM）发布了《光学与光子学中数学的挑战与机遇》报告^[1]。报告指出，光学与光子学的不断发展为应用数学及计算数学带来了巨大的挑战和机遇。光学与光子学需要新的建模工具与建模方法，需要对基于偏微分方程的数学模型和动力系统进行新的理论研究，需要新的计算方法处理更复杂的多尺度以及多重物理量的模型。下面列举了光学与光子学的一些科学问题以及数学在其中发挥的重要作用。

变换光学与超材料。麦克斯韦方程组具有坐标变换下方程形式保持不变的特性，在此原理基础上建立起来的变换光学、电磁学理论为人们提供了一种全新的调控电磁波的手段。变换光学方法成功地解决了电磁隐身斗篷的理论设计问题。关于隐形斗篷的理论与实践研究解放了科学家们的想象力，激起了隐形斗篷与超材料的研究热潮。

非线性光学。由材料科学与纳米制造的发展所驱动，引起了非线性光学与非均匀介质中的光学及电磁波传播的研究热潮。空间离散性在许多线性和非线性光学系统中发挥着重要作用，包括耦合波导阵列或晶格，连续统一问题约束下的紧束缚。这些模型对于人们理解装置设计与优化中的能量传输性质非常重要。具有新型微结构的新一代材料和介质使得非线性效应可以在低强度的研究中获得。非线性波动的随机性效应问题也备受关注，如安德森局域化范式是如何在非线性中变化的？

优化设计、反问题与控制问题。数学优化一直是光学系统设计中的基本工具。光线跟踪和渐进衍射模型提供了优化和设计的基础。随着光学和光子学研究聚焦于纳米尺度，建立完整的偏微分方程模型充分捕获纳米尺度光学的行为已越来越重要。在纳米光子学领域，装置的行为不易凭直觉获得，计算模拟不可或缺。当前的优化设计与优化控制技术能够比直接实验更快、更有效地产生新的设计。优化方法、控制问题和反问题针对的是极其多样的光学应用，包括从天文学到纳米光学材料和纳米结构的应用。

近场热辐射。随着纳米技术与微机电系统的发展，近场热辐射在能量转换、成像、精确供热、精确制冷、热光电系统、纳米光刻、高密度激光存储和近场探测等很多方面发挥着重要作用。半个世纪前，基于电磁场理论建立了涨落电动力学和涨落耗散理论，涨落电动力学中的随机麦克斯韦方程为近场热辐射描述提供了模型。近年来，近场热辐射研究基于随机麦克斯韦方程采用格林函数法、基于电磁场理论采用分子动力学和蒙特卡洛等方法进行计算。同时，随着纳米光子学和超材料的飞速发展，近场热辐射领域也出现了许多新概念。

纳米光学与纳米光子学。纳米光学与光子学的主要困难是光场遇到纳米结构时会出现尺度上的不一致，即光场自由空间的波长是微米尺度，而纳米结构具有纳米尺度的几何特征。这会导致一些在传统光学中从未出现过的现象发生，因此对这些现象进行合理的数学描述和计算将会是一个重要的挑战和机遇。重要的研究方向包括高度本地化波场中的光子散射问题，等离子材料的作用、非线性、反常衍射和耗散光子现象等。

光学与电磁学中的多尺度问题。微纳结构光学介质在应用于通信和计算设备上具有巨大潜力。通过改变材料及其微观结构，可以操控各种光学性质：色散、非线性光学效应、材料成分共振、材料对比、缺陷几何以及缺陷分布。这些问题的共同之处在于它们都是光传播中不同空间尺度及频率尺度下的场互动。新型几何形状、宽频率范围以及物理上的真实色散关系需要基础数学和应用数学新的理论与方法。

总之，对光学现象以及理解光学系统控制的研究已经成为纯数学与应用数学发展的一个重要源泉，是促进动力系统、微分方程、偏微分方程、谐波分析、变形法、几何与泛函分析等发展的重要动力。同时，数学和计算科学的发展又为光学和光子科学发现新现象及更深层次的物理理论及其应用研究提供基本工具。                     

（刘小平）